Question

19．（1）已知0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，用分析法证明：$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}≤1$
（2）已知a+b+c=0，ab+bc+ca＞0且abc＞0，用反证法证明：a，b，c都大于零．

Answer 1

分析 （1）根据分析法的步骤证明即可，
（2）假设a，b，c不都大于零，即至少有一个小于零或等于零，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形．但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似．

解答 （1）因为0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1
欲证明$\frac{a+b+c+abc}{1+ab+bc+ca}≤1$
只需证a+b+c+abc≤1+ab+bc+ca，
只需证（a-1）-b（a-1）-c（a-1）+bc（a-1）＜0，
即证（a-1）（b-1）（c-1）≤0，
由已知得最后一个不等式成立，
故原不等式成立；
（2）假设a，b，c不都大于零，即至少有一个小于零或等于零
（ i）若某一个等于零，由abc=0，与abc＞0矛盾．
（ ii）若某一个小于零，不妨设a＜0，由abc＞0，得bc＜0
由a+b+c＞0，得b+c＞-a＞0，那么-a（b+c）＞0，得a（b+c）＜0，即ab+ac＜0，
结合bc＜0，得ab+bc+ca＜0与ab+bc+ca＞0矛盾．
结合（i）、（ii）知a，b，c都大于零．

点评 本题考查了发证法和分析法，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．于是考虑采用反证法．