Question

9．函数$f（x）={cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{cos^2}ωx$，其中ω＞0，它的最小正周期π．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{4}$个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标变为原来的2倍，所得到的图象对应的函数记为g（x），求g（x）在区间$[{-\frac{π}{24}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换、以及正弦函数的周期性求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间$[{-\frac{π}{24}，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）由于函数$f（x）={cos^2}（ωx-\frac{π}{6}）-{cos^2}ωx$=$\frac{1+cos（2ωx-\frac{π}{3}）}{2}$-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=$\frac{1}{2}$（cos2ωx$•\frac{1}{2}$+sin2ωx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\frac{cos2ωx}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2ωx-$\frac{1}{4}$cos2ωx=$\frac{1}{2}$sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），其中ω＞0，它的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，∴ω=1，∴$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
（Ⅱ）将y=f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{4}$个单位，可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$，可得y=$\frac{1}{2}$sin（4x-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$）的图象，
再把纵坐标变为原来的2倍，所得到的图象对应的函数记为g（x）=sin（4x-$\frac{2π}{3}$）的图象，
则$g（x）=sin（4x-\frac{2}{3}π）$．
在区间$[{-\frac{π}{24}，\frac{π}{4}}]$上，4x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，故当4x-$\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最小值为-1；
当4x-$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，g（x）取得最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．