Question

4．函数f（x）的图象如图所示，设f'（x）是f（x）的导函数，若0＜a＜b，下列各式成立的是（　　）

• A． $f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）$
• B． $f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{a+b}{2}}）$
• C． $f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）$
• D． $f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）$

Answer 1

分析 由基本不等式可得$\frac{2ab}{a+b}＜\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}$，再由函数f（x）的图象得到f'（x）的单调性，则答案可求．

解答 解：∵b＞a＞0，
∴$\frac{a+b}{2}＞\sqrt{ab}$＞0，
则$\frac{1}{\sqrt{ab}}＞\frac{2}{a+b}$，两边同时乘以ab，得$\frac{ab}{\sqrt{ab}}＞\frac{2ab}{a+b}$，即$\sqrt{ab}＞\frac{2ab}{a+b}$．
∴$\frac{2ab}{a+b}＜\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}$．
∵函数f（x）的图象是上凸型，由导数的几何意义可知，f′（x）为定义域上的减函数，
则$f'（{\frac{a+b}{2}}）＜f'（{\sqrt{ab}}）＜f'（{\frac{2ab}{a+b}}）$．
故选：D．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，训练了利用基本不等式进行大小比较，属中档题．