Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x²，则不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＜0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，-2014）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：通过观察2f（x）+xf′（x）＞x²，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x²f′（x）＜x³，而这时不等式的左边是（x²f（x））′，所以构造函数F（x）=x²f（x），则能判断该函数在（-∞，0）上是减函数．这时F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2），而到这会发现不等式（x+2014）²f（x+2014）-4f（-2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（-2），从而解这个不等式便可，而这个不等式利用F（x）的单调性可以求解．

解答： 解：由2f（x）+xf′（x）＞x²，（x＜0）；
得：2xf（x）+x²f′（x）＜x³
即[x²f（x）]′＜x³＜0；
令F（x）=x²f（x）；
则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴F（x+2014）=（x+2014）²f（x+2014），F（-2）=4f（-2）；
即不等式等价为F（x+2014）-F（-2）＜0；
∵F（x）在（-∞，0）是减函数；
∴由F（x+2014）＜F（-2）得，x+2014＞-2，∴x＞-2016；
又x+2014＜0，∴x＜-2014；
∴-2016＜x＜-2014．
∴原不等式的解集是（-2016，-2014）．
故答案选D．

点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．