Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左焦点为F，点P为双曲线右支上一点，点A满足$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，则点A到原点的最近距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 设F'为双曲线的右焦点，M为PF的中点，则|PF|-|PF'|=2$\sqrt{2}$，|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，点A在以PF为直径的圆上，故当O，A，M共线时，可得OA取得最小值MA-OM．

解答 解：双曲线的左焦点为F（-2，0），右焦点为F′（2，0），
连接PF′，PF，设PF的中点为M，
∵$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AF}$=0，
∴点A在以PF为直径的圆M上，
∴当AOM三点共线时，OA取得最小值，最小值为MA-OM．
设圆M的半径为r，则PF=2r，MA=r．
∵P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1上，
∴PF-PF′=2$\sqrt{2}$，
∴PF′=2r-2$\sqrt{2}$，
∵OM是△PFF′的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF′=r-$\sqrt{2}$，
∴MA-OM=r-（r-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查两点的距离的最小值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的性质，及三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题