Question

3．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为棱CC₁上的动点．
（1）若E为棱CC₁的中点，求证：A₁E⊥平面BDE；
（2）试确定E点的位置使直线A₁C与平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁E⊥平面BDE．
（2）求出平面DBE的法向量，由直线A₁C与平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．利用向量法能确定E点的位置．

解答 证明：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AA₁=2AB=2，E为棱CC₁的中点，
则A₁（1，0，2），E（0，1，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{DB}$=-1+1=0，$\overrightarrow{{A}_{1}E}•\overrightarrow{DE}$=1-1=0，
∴A₁E⊥DB，A₁E⊥DE，
又DB∩DE=D，∴A₁E⊥平面BDE．
解：（2）C（0，1，0），设E（0，1，t），
则$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，t），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，1，-2），
设平面DBE的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=a+b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=b+tc=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{1}{t}$），
∵直线A₁C与平面BDE所成角的正弦值是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
∴|cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}C}，\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{2+\frac{2}{t}}{\sqrt{6}•\sqrt{2+\frac{1}{{t}^{2}}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
解得t=1或t=$\frac{1}{5}$（舍），
∴E是CC₁的中点或CE占CC₁的$\frac{1}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．