Question

在正三棱锥S-ABC中，外接球的表面积为16π，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，则此三棱锥侧棱SA=

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意可证MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，由此利用外接球的表面积公式求出直径，再求出SA．

解答： 解：∵三棱锥S-ABC正棱锥，
∴SB⊥AC（对棱互相垂直），MN∥SB，∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM，AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，
将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设SA=SB=SC=a，外接球的半径为R，
则4πR²=16π，∴R=2，
∴2R=4=

3a2

，a=

4 3

3

．
故答案为：

4 3

3

．

点评：考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．