Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₁，左焦点为F₂，若椭圆上存在一点P，满足线段PF₁相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF₁的中点，则该椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 设线段PF₁的中点为M，利用OM是△F₁PF₂的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF₁的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．

解答 解：设线段PF₁的中点为M，由题意知，OM=b，又OM是△F₁PF₂的中位线，
∴OM=$\frac{1}{2}$PF₂=b，则PF₂=2b，由椭圆的定义知PF₁=2a-PF₂=2a-2b，
又MF=$M{F}_{1}=\frac{1}{2}P{F}_{1}$=$\frac{1}{2}$（2a-2b）=a-b，OF₁=c，
在直角三角形OMF₁中，由勾股定理得：（a-b）²+b²=c²，
又a²-b²=c²，可得2a=3b，
故有4a²=9b²=9（a²-c²），
由此可求得离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单性质，注意椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数2a的应用，是中档题．