Question

9．对x∈R．定义sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，设M={（x，y）|x^sgn（x-1）y^sgn（y-1）=10，x，y∈R}，对M中任意一点（x，y）在映射f的作用下的像为（lgx，lgy），则M中所有点在f作用下的像围成的区域的面积为2．

Answer 1

分析 化简sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，设lgx=m，lgy=n，则（10^m，10ⁿ）∈M．根据定义求得点集T={（m，n）||m|+|n|=1}，从而点集T围成的区域的面积．

解答 解：sgnx=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|x|}{x}，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，
设lgx=m，lgy=n，则（10^m，10ⁿ）∈M．
于是有（10^m）^{sgn（10m-1）}•（10ⁿ）^{sgn（10n-1）}=10，
得m•sgn（10^m-1）+n•sgn（10ⁿ-1）=1，
当m＞0时，10^m-1＞0，sgn（10^m-1）=1，msgn（10^m-1）=m，
当m＜0时，10^m-1＜0，sgn（10^m-1）=-1，msgn（10^m-1）=-m，
∴msgn（10^m-1）=|m|
可得M中所有点在f作用下的像集T={（m，n）||m|+|n|=1}，
点集T围成的区域是一个边长为$\sqrt{2}$的正方形，面积为2．
故答案为：2．

点评 此题是个中档题．考查分段函数分段处理，考查化简整理的运算能力，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力．