Question

5．坐标平面上的点集S满足S=$\{（x，y）|{log_2}（{y^2}-y+2）=2{sin^4}x+2{cos^4}x，-\frac{π}{8}≤x≤\frac{π}{4}\}$，将点集S中的所有点向y轴作投影，所得投影线段的总长度为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{8\sqrt{2}-7}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出2sin⁴x+2cos⁴x=2-4sin²x•cos²x=2-（sin2x）²的范围，即可得出函数x=log₂（y²-y+2）的值域范围，从而求出函数函数x=log₂（y²-y+2）的定义域，进一步可求投影长度．

解答 解：1=（sin²x+cos²x）²=sin⁴x+cos⁴x+2sin²x•cos²x，
∴2sin⁴x+2cos⁴x=2-4sin²x•cos²x=2-（sin2x）²，
∵x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin2x≤1，
∴2-（sin2x）²∈[1，2]
∴log₂（y²-y+2）∈[1，2]，
∴2≤y²-y+2≤4，
∴-1≤y≤0，或1≤y≤2
故y的投影长度为1+1=2，
故选：D．

点评 本题综合考查函数定义域与值域问题，考查的较为灵活，做题中要注意转化．