Question

8．已知圆C过点A（1，-3），且与圆M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）关于直线x-y-2=0对称．
（1）求圆C的标准方程；
（2）设B为圆C上一动点，求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）圆M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）的圆心为M（-1，0），设M关于直线x-y-2=0对称的点C（a，b）．则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+a}{2}-\frac{b}{2}-2=0}\\{\frac{b}{a+1}×1=-1}\end{array}\right.$，解出C，进而得到⊙C的半径r，可得圆C的标准方程．
（2）设B（2+cosθ，-3+sinθ），可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$=（1+cosθ，sinθ）•（3+cosθ，-3+sinθ）=4-$\sqrt{13}$sin（θ-β），即可得出．

解答 解：（1）圆M：（x+1）²+y²=r²（r＞0）的圆心为M（-1，0），设M关于直线x-y-2=0对称的点C（a，b）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+a}{2}-\frac{b}{2}-2=0}\\{\frac{b}{a+1}×1=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
∴C（2，-3），可得⊙C的半径r=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-3+3）^{2}}$=1，
∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y+3）²=1．
（2）设B（2+cosθ，-3+sinθ），
则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MB}$=（1+cosθ，sinθ）•（3+cosθ，-3+sinθ）
=（1+cosθ）（3+cosθ）+sinθ（-3+sinθ）
=4+3cosθ-2sinθ=4-$\sqrt{13}$sin（θ-β）∈$[4-\sqrt{13}，4+\sqrt{13}]$．

点评 本题考查了圆的标准方程、点关于直线的对称点、向量数量积运算性质、三角函数求值、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．