Question

16．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₂=2，a₄=$\frac{1}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=-log₂a_n+3，数列{b_n}的前n项和为T_n，求$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+$\frac{1}{{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=-log₂a_n+3=n，可得数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂=2，a₄=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=2}\\{{a}_{1}{q}^{3}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a₁=4，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=4×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^3-n．
（2）b_n=-log₂a_n+3=n，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{T}_{1}}$+$\frac{1}{{T}_{2}}$+$\frac{1}{{T}_{3}}$+…+$\frac{1}{{T}_{n}}$=$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．