Question

11．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第--象限，C是圆0与π轴正半轴的交点，△A0B为等腰直角三角形，记∠AOC=α．
（1）若A点的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求$\frac{2sinα•sinα}{co{s}^{2}α+1-2si{n}^{2}α}$的值；
（2）求|BC|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A的坐标，得出sinα与cosα的值，代入计算即可；
（2）用α表示出∠BOC，再利用余弦定理写出|BC|²的表达式，求出它的取值范围即可．

解答 解：（1）∵A点的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$；
∴$\frac{2sinα•sinα}{co{s}^{2}α+1-2si{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{4}{5}×\frac{3}{5}}{{（\frac{3}{5}）}^{2}+1-2{×（\frac{4}{5}）}^{2}}$=12；
（2）∵∠AOC=α，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴∠BOC=α+$\frac{π}{2}$；
∴|BC|²=|OB|²+|OC|²-2|OB|•|OC|cos∠BOC
=1+1-2cos（α+$\frac{π}{2}$）=2+2sinα，
又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα∈（0，1），
∴2+2sinα∈（2，4），
即|BC|²的取值范围是（2，4）．

点评 本题考查了三角函数的定义与三角函数式的化简求值问题，也考查了余弦定理的应用问题，是基础题目．