Question

已知函数y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定义域为D，且点（s，f（t）），（s，t∈D）形成的图形为正方形，则实数a=

-4

．

Answer 1

分析：由y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定义域为D，知集合D是不空集．应该是一个闭区间[x₁，x₂]，即D=[x₁，x₂]，其中，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个不等的实数根．由韦达定理得x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=

b2 a2  - 4c a

=

b2-4ac

a

．其中，差（x₂-x₁）也叫做区间[x₁，x₂]的长度．由此能求出a的值．

解答：解：∵y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定义域为D，
∴集合D是不空集．应该是一个闭区间[x₁，x₂]，即D=[x₁，x₂]，
其中，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个不等的实数根．
∴由韦达定理可得
x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=

b2 a2  - 4c a

=

b2-4ac

a

．
其中，差（x₂-x₁）也叫做区间[x₁，x₂]的长度．
∴定义域D的长度=

b2-4ac

a

，
∴在区间[x₁，x₂]上，恒有ax²+bx+c≥0．
∵a＞0
∴ax²+bx+c在区间[x₁，x₂]上有最大值和最小值．
∵max=

4ac-b2

4a

，
min=0．
∴y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的值域M为：M=[0，

max

]．
∴区间M的长度为

4ac-b2 4a

由题设知：两个区间D（定义域）和M（值域）的长度相等．
∴

b2-4ac

a

=

4ac-b2 4a

，
两边平方，得

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4a

，
∴a²+4a=0
结合a＜0，得a=-4．
∴a=-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查二次函数的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．