Question

已知抛物线C₁：y²=4px（p＞0），焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁；椭圆C₂：分别以F₁、F₂为左、右焦点，其离心率e=

1

2

；且抛物线C₁和椭圆C₂的一个交点记为M．
（1）当p=1时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF₁F₂的周长，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，用点斜式设出直线L的方程，代入抛物线方程化简，得到根与系数的关系，代入弦长公式求出斜率 k的值．

解答：解：（1）当p=1时，F₂（1，0），F₁（-1，0）
设椭圆C₂的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），∴c=1，

c

a

=

1

2

∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

3

故椭圆C₂的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1..（4分）
（2）（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则l：x=1，且A（1，2），B（1，-2），∴|AB|=4
又∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6≠|AB|
∴直线l的斜率必存在．（6分）
（ⅱ）设直线l的斜率为k，则l：y=k（x-1）
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∵直线l与抛物线C₁有两个交点A，B
∴△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，且k≠0
设则可得x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
于是|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

(1+k2)( 16 k2 + 16 k4 )

=

4(1+k2)

k2

∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6
∴由

4(1+k2)

k2

=6，解得k=±

2

故所求直线l的方程为y=±

2

(x-1)．（12分）

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，弦长公式的应用，设出直线l的斜率为k，表示出△PF₁F₂的边长是解题的难点．