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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在平面四边形ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点，且AB=1，EF=
    		2
    ，CD=
    		3
    ，若
    AD
    •
    BC
    =15，则
    AC
    •
    BD
    的值为
     
    ．
    考点：平面向量数量积的运算
    专题：平面向量及应用
    分析：画出图形，结合图形，先求出
    AB
    •
    DC
    的值，再利用
    AD
    •
    BC
    =15，求出
    AC
    •
    BD
    的值．
    解答： 解：如图所示，
    设AB∩DC=O，∵
    AB
    =
    AE
    +
    EF
    +
    FB
    =
    EF
    +
    AD
    -
    BC
    2
    ，
    DC
    =
    DE
    +
    EF
    +
    FC
    =
    EF
    +
    BC
    -
    AD
    2
    ，
    两式相加得
    EF
    =
    AB
    +
    DC
    2
    ；
    ∵AB=1，EF=
    		2
    ，CD=
    		3
    ，平方得 2=
    1+3+2
    AB
    •
    DC
    4
    ；
    ∴
    AB
    •
    DC
    =2；
    又∵
    AD
    •
    BC
    =15，
    即（
    OD
    -
    OA
    ）•（
    OC
    -
    OB
    ）=15；
    ∴
    OD
    •
    OC
    -
    OD
    •
    OB
    -
    OA
    •
    OC
    +
    OA
    •
    OB
    =15，
    ∴
    OC
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB
    =15+
    OD
    •
    OB
    +
    OA
    •
    OC
    ，
    ∴
    AC
    •
    BD
    =（
    OC
    -
    OA
    ）•（
    OD
    -
    OB
    ）=
    OC
    •
    OD
    -
    OC
    •
    OB
    -
    OA
    •
    OD
    +
    OA
    •
    OB

    =（15+
    OD
    •
    OB
    +
    OA
    •
    OC
    ）-
    OC
    •
    OB
    -
    OA
    •
    OD

    =15+
    OD
    •（
    OB
    -
    OA
    ）+
    OC
    •（
    OA
    -
    OB
    ）
    =15+
    OD
    •
    AB
    +
    OC
    •
    BA

    =15+
    AB
    •（
    OD
    -
    OC
    ）
    =15+
    AB
    •
    CD

    =15-
    AB
    •
    DC

    =15-2
    =13．
    故答案为：13．
    点评：本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是中档题．
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    π
    3
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    ．

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    A、
    		6
    4
    B、
    		3
    4
    C、
    		3
    2
    D、
    		6
    2

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    计算：sin4
    π
    4
    -cos2
    π
    2
    +6tan3
    π
    4
    =
     
    ．

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