Question

已知P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A₁，A₂分别为双曲线的左、右顶点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为e，有下列命题：①双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得的线段长度为

2ab

a2+b2

；
②若|PF₁|=e|PF₂|，则e的最大值为

2

；③△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a；④若直线PF₁的斜率为k，则e²-k²＞1，其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：求出准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标，即可得到此准线被它的两条渐近线所截得的线段
长度为

2ab

a2+b2

，故①正确．
由双曲线的定义可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，根据|PF₂|=

2a2

c-a

≥c-a，求得1＜

c

a

≤1+

2

，故②不正确．
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|KF₁|=a+c，故△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
由题意可得k＜

b

a

，故e²-k²＞1，故④正确．

解答：解：对于①，一准线方程为x=

a2

c

，它的两条渐近线方程为 y=±

b

a

x，
故准线被它的两条渐近线所截得的线段的端点的纵坐标分别为 ±

ab

c

=±

ab

a2+b2

，
故此线段的长度为

2ab

a2+b2

，故①正确．
对于②，若|PF₁|=e|PF₂|，则由双曲线的定义可得 2a+|PF₂|=e|PF₂|，e＞1．
∴|PF₂|=

2a

-a+c a

=

2a2

c-a

≥c-a，∴e²-2e-1≤0，
∴1-

2

≤

c

a

≤1+

2

，故有 1＜e≤1+

2

，即离心率的最大值为1+

2

，故②不正确．
对于③，设△PF₁F₂的内切圆与PF₁和PF₂的切点分别为M，N，与x轴的切点为K，
由双曲线的定义及圆的切线性质可得|MF₁|-|NF₂|=2a=|KF₁|-|KF₂|，
又|KF₁|+|KF₂|=2c，∴|KF₁|=a+c，故K为双曲线的右顶点，又△PF₁F₂的内切圆的圆心
在切点K 的正上方，故△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标为a，故③正确．
对于④若直线PF₁的斜率为k，则由题意可得k＜

b

a

，∴k²＜

c2-a2

a2

，∴e²-k²＞1，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟练掌握双曲线的性质，是解题的关键．