Question

（15分）如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为；以为焦点，离心率的椭圆与抛物线在轴上方的交点为，延长交抛物线于点，是抛物线上一动点，且M在与之间运动.

（1）当时，求椭圆的方程；
（2）当的边长恰好是三个连续的自然数时，求             面积的最大值．

Answer 1

(1)
(2)

解：（1）当时， ，则
设椭圆方程为，则又，所以
所以椭圆C₂方程为                    …………
（2）因为，，则，，设椭圆方程为
由，得         …………
即，得代入抛物线方程得，即
,，
因为的边长恰好是三个连续的自然数，所以    …………10’
此时抛物线方程为，，直线方程为：.
联立，得，即，
所以，代入抛物线方程得，即
∴       ……………12’
设到直线PQ的距离为 ，
则                
当时，，        ………………14’
即面积的最大值为.     ………………15’