Question

（2010•湖北模拟）在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，AB=8，BC=5，则边AC上的高BD的长是（　　）

• A．

  40 3

  7

• B．

  20 3

  7

• C．

  80 3

  7

• D．

  20

  7

Answer 1

分析：由三角形的三内角成等差数列，根据等差数列的性质得到2B=A+C，再根据三角形的内角和定理可求出B的度数，进而得到sinB及cosB的值，由AB，BC及cosB的值，利用余弦定理求出AC的长，同时由sinB，AB及BC，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积，最后根据底边AC及高BD，利用三角形的面积公式底乘以高的一半，列出关于BD的方程，求出方程的解即可得到高BD的长．

解答：解：∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，又AB=8，BC=5，
根据余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=64+25-40=49，
解得AC=7，
又三角形的面积S=

1

2

AB•BC•sinB=10

3

，
∴S=

1

2

BD•AC=10

3

，即BD=

20 3

7

．
故选B．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：余弦定理，等差数列的性质，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键．