Question

对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（　　）

• A、f（x）=sin（

  π

  2

  x）
• B、f（x）=2x²-1
• C、f（x）=2^x+1
• D、f（x）=log₂（2x-2）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．

解答：解：对于A，函数f（x）=sin（

π

2

x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．
对于B，当A=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．∴f（x）=2x²-1满足题意．
对于C，A=[m，n]为函数f（x）=2^x+1的“可等域区间”，若f（x）=2^x+1满足条件，则由

2m+1=m 2n+1=n

，
即m，n是方程2^x+1=x的两个根，设f（x）=2^x+1-x，则f′（x）=2^xln2-1，x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，方程无解，故不满足条件．
对于D，∵f（x）=log₂（2x-2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），
若存在“可等域区间”，则满足

log2(2m-2)=m log2(2n-2)=n

，即

2m-2=2m 2n-2=2n

，
∴m，n是方程2^x-2x+2=0的两个根，设f（x）=2^x-2x+2，f′（x）=2^xln2-2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴f（x）=2^x-2x+2=0不可能存在两个解，
故f（x）=log₂（2x-2）不存在“可等域区间”．
故选：B．

点评：本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．