Question

12．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{ax}$（a＞0）
（1）求函数f（x）的图象在x=2处的切线方程；
（2）当a=1时，求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（2）求出函数f（x）的导数，求出函数的单调区间，通过讨论t的范围求出函数在闭区间的最大值即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{ax}^{2}}$，f′（2）=$\frac{{e}^{2}}{4a}$，f（2）=$\frac{{e}^{2}}{2a}$，
故切线方程是：y-$\frac{{e}^{2}}{2a}$=$\frac{{e}^{2}}{4a}$（x-2），
即e²x-4ay=0；
（2）a=1时，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∵t＞0，∴t+1＞1，
t＜1时，f（x）在[t，1）递减，在（1，t+1]递增，
∴f（x）的最大值是f（t）或f（t+1），
t≥1时，f（x）在[t，t+1]递增，
∴f（x）的最大值是f（t+1）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．