Question

 如图1­6，四棱锥P ­ ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

图1­6

(1)求证：AB⊥PD.

(2)若∠BPC＝90°，PB＝，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ­ ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

Answer 1

解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.

(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.

故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.

在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝.

设AB＝m，则OP＝＝，故四棱锥P ­ ABCD的体积为

V＝×·m·＝.

因为m＝＝

，

所以当m＝，即AB＝时，四棱锥P ­ ABCD的体积最大．

此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B，C，D，P，故＝，＝(0，，0)，CD＝.

设平面BPC的一个法向量为n₁＝(x，y，1)，

则由n₁⊥，n₁⊥，得解得x＝1，y＝0，则n₁＝(1，0，1)．

同理可求出平面DPC的一个法向量为n₂＝.

设平面BPC与平面DPC的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.