【题目】已知函数
是否存在,使得,按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,请说明理由;
求实数与正整数,使得在内恰有个零点.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)根据题意可得,所以可将问题转化为判断方程在区间内是否有解处理,设,判断出函数的单调性,再根据零点存在性定理求解.(2)结合题意可将问题转化为研究当时,方程的解的情况.然后利用导数和函数的周期性进行分析、求解后可得结论.
(1)∵,
∴,
所以.
所以问题转化为方程在区间内是否有解.
设,
则,
因为,
所以 在区间上单调递增,
又,
所以在区间内存在唯一零点,
即存在唯一的 满足题意.
(2)由题意得.
令,
当,即时,,从而不是方程的解.
所以方程等价于关于的方程,
下面研究当时,方程的解的情况.
令,,
则问题等价于直线与曲线的交点情况.
又,
令得或.
当变化时,的变化情况如下表:
() | ||||||
+ | 0 | - | - | 0 | + | |
1 | -1 |
当且趋近于0时,趋向于,
当且趋近于时,趋向于,
当且趋近于时,趋向于,
当且趋近于时,趋向于,
故当时,直线与曲线在内无交点,在内有2个交点;
当时,直线与曲线在内有2个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有2个交点,在内有2个交点.
由的周期性可知当时,直线与在内总有偶数个交点,
从而不存在正整数,使与在内有2019个交点.
又当或时,直线与在内有三个交点,
由周期性知,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点是椭圆上任一点,点到直线:的距离为,到点的距离为,且,若直线与椭圆交于不同两点、(、都在轴上方),且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线的方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,椭圆:与圆:相切,并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,,与交于两点,与圆的另一交点为,求面积的最大值,并求取得最大值时直线的方程.
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【题目】已知函数,其中a实数,e是自然对数的底数.
1当时,求函数在点处的切线方程;
2求在区间上的最小值;
3若存在,,使方程成立,求实数a的取值范围.
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【题目】若集合具有以下性质:(1)且;(2)若,,则,且当时,,则称集合为“闭集”.
(1)试判断集合是否为“闭集”,请说明理由;
(2)设集合是“闭集”,求证:若,,则;
(3)若集合是一个“闭集”,试判断命题“若,,则”的真假,并说明理由.
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