【题目】如图,椭圆:
与圆
:
相切,并且椭圆
上动点与圆
上动点间距离最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线
,
,
与
交于
两点,
与圆
的另一交点为
,求
面积的最大值,并求取得最大值时直线
的方程.
【答案】(1);(2)面积的最大值为
,此时直线
的方程为
.
【解析】
(1)由题意可得b=1,a﹣1,即可得到椭圆的方程;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),根据l2⊥l1,可设直线l1,l2的方程,分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|,即可得到三角形ABC的面积,利用基本不等式的性质即可得出其最大值.
(1)椭圆E与圆O:x2+y2=1相切,知b2=1;
又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为,即椭圆中心O到椭圆最远距离为
,
得椭圆长半轴长,即
;
所以椭圆E的方程:
(2)①当l1与x轴重合时,l2与圆相切,不合题意.
②当l1⊥x轴时,M(﹣1,0),l1:x=1,,此时
.…(6分)
③当l1的斜率存在且不为0时,设l1:x=my+1,m≠0,则,
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,(2m2+3)y2+4my﹣1=0,
所以,
所以.
由得,
,解得
,
所以,
所以
, 因为
,
所以
,
当且仅当时取等号.所以
(
)
综上,△ABM面积的最大值为,此时直线l1的方程为
.
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【题目】棋盘上标有第0,1,2,,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败集中营)是,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为
.
(1)求的值;
(2)证明:;
(3)求的值.
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【题目】在公差不为零的等差数列{an}中,a4=10,且a3、a6、a10成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和
.
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【题目】如图,F是椭圆的左焦点,椭圆的离心率为
,B为椭圆的左顶点和上顶点,点C在x轴上,
,
的外接圆M恰好与直线
:
相切.
1
求椭圆的方程;
2
过点C的直线
与已知椭圆交于P,Q两点,且
,求直线
的方程.
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【题目】已知圆,过点
向圆
引两条切线
,
,切点为
,
,若点
的坐标为
,则直线
的方程为____________;若
为直线
上一动点,则直线
经过定点__________.
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【题目】已知坐标平面上动点与两个定点
,
,且
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段长度为8,求直线
的方程.
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