【题目】如图,四棱锥中,
底面
,
,
,
,
为线段
上一点,
,
为
的中点.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)法一、取中点
,连接
,
,由三角形的中位线定理可得
,且
,再由已知得
,且
,得到
,且
,说明四边形
为平行四边形,可得
,由线面平行的判定得到
平面
;
法二、证明平面
,转化为证明平面
平面
,在
中,过
作
,垂足为
,连接
,由已知
底面
,可得
,通过求解直角三角形得到
,由面面平行的判定可得平面
平面
,则结论得证;
(2)连接,证得
,进一步得到平面
平面
,在平面
内,过
作
,交
于
,连接
,则
为直线
与平面
所成角.然后求解直角三角形可得直线
与平面
所成角的正弦值.
(1)证明:法一、如图,取中点
,连接
,
,
为
的中点,
,且
,
又,
,且
,
,且
,
则,且
,
四边形
为平行四边形,则
,
平面
,
平面
,
平面
;
法二、
在中,过
作
,垂足为
,连接
,
在中,由已知
,
,得
,
,
,则
,
在中,
,
,
由余弦定理得:,
,
而在中,
,
,即
,
,则
平面
.
由底面
,得
,又
,
,则
平面
.
,
平面
平面
,则MN∥平面
;
(2)解:在中,由
,
,
,得
.
,则
,
底面
,
平面
,
平面
平面
,且平面
平面
,
平面
,则平面
平面
.
在平面内,过
作
,交
于
,连接
,则
为直线
与平面
所成角.
在中,由
是
的中点,得
,
在中,由
,得
,
.
直线
与平面
所成角的正弦值为
.
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【题目】手机中的“
运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的
朋友圈里有大量好友参与了“
运动”,他随机选取了其中30名,其中男女各15名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如下表所示:
男 | 0 | 2 | 4 | 7 | 2 |
女 | 1 | 3 | 7 | 3 | 1 |
(Ⅰ)以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数低于7500步的有
名,求
的分布列和数学期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步数超过7500步,此人将被“运动”评定为“积极型”,否则为“消极”.根据题意完成下面的
列联表,并据此判断能否有
以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?
积极型 | 消极型 | 总计 | |
男 | |||
女 | |||
总计 |
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆O:,直线l:
.
若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当
为锐角时,求k的取值范围;
若
,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,则直线CD是否过定点?若是,求出定点,并说明理由.
若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦,垂足为
,求四边形EGFH的面积的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为
,直线 的参数方程为
(
为参数).
(I)分别求曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(II)设曲线和直线
相交于
两点,求弦长
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案,“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科,“1”是指在物理和历史中必选一科,“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科.为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况,进行了一次模拟选科. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生,其中男生1000人,女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36个样本,统计知其中有17个男生选物理,6个女生选历史.
(I)根据所抽取的样本数据,填写答题卷中的列联表. 并根据统计量判断能否有
的把握认为选择物理还是历史与性别有关?
(II)在样本里选历史的人中任选4人,记选出4人中男生有人,女生有
人,求随机变量
的分布列和数学期望.(
的计算公式见下)
,临界值表:
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【题目】故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、 “赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一个画展,则不同的参观方案共有
A. 6种 B. 8种 C. 10种 D. 12种
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【题目】如图,设点,直线
,点
在直线
上移动,
是线段
与
轴的交点,
,
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)直线过点
,与轨迹
交于
两点,过点
的直线与直线
交于点
,求证:
轴.
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【题目】《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为,
,且小正方形与大正方形面积之比为
,则
的值为( )
A. B.
C.
D.
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