Question

求函数f（x）=x²-2tx+3在区间[2，4]上的值域．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：分别讨论①当t＜2时，②当2≤t≤3时，③当3＜t≤4时，④当t＞4时的情况，从而求出函数的最值，进而求出函数的值域．

解答： 解：∵f（x）=x²-2tx+3=（x-t）²+3-t²，
函数的对称轴是x=t，开口向上，
①当t＜2时，函数在区间[2，4]上单调增，
∴f（x）_min=f（2）=7-4t，
f（x）_max=f（4）=19-8t；
②当2≤t≤3时，函数在区间[2，t]上单调减，在区间[t，4]上单调增，
∴f（x）_min=f（t）=3-t²；f（x）_max=f（4）=19-8t，
③当3＜t≤4时，函数在区间[2，t]上单调减，在区间[t，4]上单调增，
∴f（x）_min=f（t）=3-t²；f（x）_max=f（2）=7-4t，
，函数在区间[2，4]上单调递减，
∴f（x）_min=f（4）=19-8t，f（x）_max=f（2）=7-4t．
综上：当t＜2时，函数f（x）的值域为：[7-4t，19-8t]，
当2≤t≤3时，函数f（x）的值域为：[3-t²，19-8t]，
当3＜t≤4时，函数f（x）的值域为：[3-t²，7-4t]，
当t＞4时，函数f（x）的值域为：[19-8t，7-4t]．

点评：本题考查了函数的值域问题，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．