Question

已知直线l的方程为kx-y+1=0（k∈R），圆C的方程为x²+y²-2x-3=0．
（1）试判断直线与圆C的位置关系，并说明理由．
（2）过点（0，1）作直线l₁⊥l，设直线l₁与圆C相交于M，N两点，直线l与圆C相交于P，Q两点，则四边形PMQN的面积是否存在最大值和最小值？若存在，请求出，否则说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）首先求出直线恒过的定点（0，1）进一步判断点与圆的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系
（2）根据直线与直线垂直，并且还判断出直线都过（0，1）点，并进一步求出结果．

解答： 解：（1）结论：直线与圆C的位置关系是：相交
理由：已知直线l的方程为kx-y+1=0（k∈R）
则直线l恒过（0，1）点，圆C的方程为x²+y²-2x-3=0转化为：（x-1）²+y²=4  R=2
点（0，1）到圆心的距离为

2

＜2=R
所以点（0，1）在圆内，即直线与圆相交
（2）由（1）得直线l恒过（0，1）点，过点（0，1）作直线l₁⊥l，则直线l₁的直线方程为：y=-

1

k

x+1
则这条直线也恒过（0，1），圆C的方程为x²+y²-2x-3=0转化为：（x-1）²+y²=4
所以：直线l₁与圆C相交于M，N两点，直线l与圆C相交于P，Q两点构成的四边形，当直线MN的斜率不存在时，由于MN⊥PQ，则四边形PMQN的面积为最大值．
S max=

1

2

•2

3

•2

3

=18．
当k=±1时，利用圆心到直线的距离d=

2

所以：两条对角线的长都为4，由于对角线互相垂直，
所以：Smin=

1

2

•4•4=8．

点评：本题考查的知识点：点、直线与圆的位置关系，恒过定点的直线，直线和圆相交的特殊情况，属于中档题．