Question

1．下列各式：
（1）已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，则a＞$\frac{2}{3}$；
（2）函数y=2^x的图象与函数y=2^-x的图象关于y轴对称；
（3）函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域是R，则m的取值范围是0≤m＜4；
（4）函数y=ln（-x²+x）的递增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]
正确的有（2）（3）．（把你认为正确的序号全部写上）

Answer 1

分析 已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，对底数a分类讨论：当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知log_a$\frac{2}{3}$＜log_aa，可得a＜$\frac{2}{3}$，可判断（1）；根据指数函数的图象和性质，可判断（2）；要使函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域是R，可转化成mx²+mx+1＞0在R上恒成立，讨论二次项系数是否为0，建立关系式，解之即可求出答案，可判断（3）；函数y=ln（-x²+x）的定义域为（0，1），单调区间应在定义域内，将原函数分解成两个简单函数y=lnz，z=-x²+x，再根据复合函数同增异减的性质即可求出，可判断（4）．

解答 解：（1）已知log_a$\frac{2}{3}$＜1，当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知log_a$\frac{2}{3}$＜log_aa，可得a＜$\frac{2}{3}$，故（1）错误；
（2）y=2^x与y=$（\frac{1}{2}）^{x}$=2^-x的图象关于y轴对称，故（2）正确；
（3）∵函数f（x）=lg（mx²+mx+1）的定义域是R，
∴mx²+mx+1＞0在R上恒成立，
①当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；
②当m≠0时，由$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△={m}^{2}-4m＜0}\end{array}\right.$，解得0＜m＜4，综上，实数m的取值范围是0≤m＜4，故（3）正确；
（4）∵函数y=ln（-x²+x）的定义域为（0，1），
令z=-x²+x，则原函数可以写为y=lnz，
∵y=lnz为增函数，
∴原函数的增区间即是函数z=-x²+x，x∈（0，1）的增区间．
∴x∈（0，$\frac{1}{2}$]．
∴函数y=ln（-x²+x）的递增区间为（0，$\frac{1}{2}$]，故（4）错误．
∴正确的有：（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．

点评 本题考查了命题的真假判断，考查了对数函数参数的讨论问题，图象的对称问题，二次函数恒大于零问题以及复合函数求单调区间的问题，属于中档题．