Question

10．f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$，（cosx≠0）的最小值是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据余弦的倍角公式结合基本不等式进行求解即可，

解答 解：f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$=f（x）=cos²x+$\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$-$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{cos^2x•\frac{1}{cos^2x}}$-$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当cos²x=$\frac{1}{{{{cos}^2}x}}$，即cos⁴x=1，即cosx=±1时取等号，
即函数的最小值为$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用基本不等式进行转化是解决本题的关键．