Question

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx（e=2.71828…）．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，到点（1，0）的距离为

2

2

，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）切点坐标（1，e+a），切线斜率k=f′（1）=e+a，由点斜式可得切线方程，再由点到直线的距离公式可得a的方程，解出即可；
（Ⅱ）易判断x=0时不等式恒成立；当x＞0时分离出参数a，化为函数的最值即可，利用导数可求得函数的最值，注意两种情况下参数的范围要求交集；
（Ⅲ）曲线C的方程为y=e^xlnx-e^x+x，令M（x）=e^xlnx-e^x+x，问题即为a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，M′（x）=0有实数解，构造函数利用导数可判断M′（x）＞0，于是得到结论；

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，f（1）=e+a．
y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，
∴切线l的方程为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即（e+a）x-y=0．
又点（1，0）到切线l的距离为

2

2

，∴

|(e+a)•1+(-1)•0+0|

(e+a)2+(-1)2

=

2

2

，
解之得，a=-e+1或a=-e-1．
（Ⅱ）∵x≥0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
若x=0，f（0）=1＞0恒成立；
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

，在x＞0上恒成立，
设Q（x）=-

ex

x

，则Q′（x）=-

xex-ex

x2

=

(1-x)•ex

x2

，
当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞0时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减；
∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（1）=-e，
∴a的取值范围为（-e，+∞）．
（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为y=e^xlnx-e^x+x，
令M（x）=e^xlnx-e^x+x，
∴M′（x）=

ex

x

+exlnx-ex+1=（

1

x

+lnx-1）•e^x+1，
设h（x）=

1

x

+lnx-1，则h′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0，故h（x）在[1，e]上单调增函数，
因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）=0，即h（x）=

1

x

+lnx-1≥h（1）=0，
又x₀∈[1，e]时，e^x＞0，

1

x

+lnx-1≥0，
∴M′（x）=（

1

x

+lnx-1）•e^x+1＞0，
曲线y=e^xlnx-e^x+x在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程M′（x）=0有实数解，但是M′（x）＞0，M′（x）=0没有实数解，
故不存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．

点评：该题考查导数的几何意义、函数恒成立、函数的零点等知识，考查学生运算求解能力、推理论证能力与问题的转化能力，综合性较强，难度较大．