Question

14．如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（1）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，由底面ABCD是菱形，可得O为AC的中点，又Q是PA的中点，得OQ∥PC，由线面平行的判定得PC∥平面BDQ；
（2）由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC，结合PB=PD，得PO⊥BD，由线面垂直的判定得BD⊥平面PAC．

解答 证明：（1）如图，
连接AC交BD于O，∵底面ABCD是菱形，
∴O为AC的中点，连接QO，
∵Q是PA的中点，∴OQ∥PC，
又PC?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又PB=PD，O为BD的中点，∴PO⊥BD，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．

点评 本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．