Question

5．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中直线BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取B₁D₁的中点H连接C₁H，BH利用正方体的性质在结合线面垂直的判定定理可证得C₁H⊥面B₁D₁DB，则∠HBC₁即为BC₁与平面BB₁D₁D所成的角．再令BC=1在Rt△BHC₁中cosHBC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可得答案．

解答 解：连接B₁D₁取其中点H连接C₁H，BH则由正方体的性质知C₁H⊥D₁B₁
∵BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁且C₁H?面A₁B₁C₁D₁
∴C₁H⊥BB₁
∵BB₁∩D₁B₁=B₁
∴C₁H⊥面B₁D₁DB
∴C₁H⊥BH
∴∠HBC₁即为BC₁与平面BB₁D₁D所成的角
设BC=1则BC₁=$\sqrt{2}$，C₁H=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则在Rt△BHC₁中cosHBC₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选C．

点评 本题考查空间角，考查学生的计算能力，正确作出线面角是关键．