(1) f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数,
∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数,
∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1.
(2) N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1},
M∩N =" {m" | g(q) < -1}……………3分
由g(q) < -1得 sin
2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos
2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立
Þ(cos
2q-m cos q + 2m-2)
min > 0
然后换元构造函数设t = cosq,h(t) = cos
2q-m cos q + 2m-2
= t
2-mt + 2m-2 ,
求其最值即可
(1)依题意,f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数,
∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数,
∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1…………… 2分
(2)N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1},
M∩N =" {m" | g(q) < -1}……………3分
由g(q) < -1得 sin
2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos
2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立
Þ(cos
2q-m cos q + 2m-2)
min > 0…………………4分
设t = cosq,h(t) = cos
2q-m cos q + 2m-2 = t
2-mt + 2m-2
= (t-
)
2-
+ 2m-2,
∵ cosq∈[-1,1] Þt∈[-1,1],h(t) 的对称轴为 t =
…5分
1°当
> 1,即 m > 2 时,h(t) 在 [-1,1] 为减函数
∴ h(t)
min =" h(1)" = m-1 > 0 Þm > 1 Þm > 2…………………7分
2°当 -1≤
≤1,即 -2≤m≤2 时,
∴ h(t)
min = h(
) = -
+ 2m-2 > 0 Þ4-2
< m < 4 + 2
Þ4-2
< m≤2…………9分
3°当
< -1,即 m < -2 时,h(t) 在 [-1,1] 为增函数
∴ h(t)
min = h(-1) = 3m-1 > 0 Þ m >
无解………………11分
综上,m > 4-2
Þ M∩N =" {m" | m > 4-2
}……………12分
另解:. 解:依题意,f (-1) = -f (1) = 0,又f (x) 在 (0,+¥) 上是增函数,
∴ f (x) 在 (-¥,0) 上也是增函数,
∴ 由 f (x) < 0得x < -1或0 < x < 1……………… 2分
∴ N =" {m" | f [g(q)] < 0} =" {m" | g(q) < -1或0 < g(q) < 1},
M∩N =" {m" | g(q) < -1}…………………3分
由g(q) < -1得 sin
2q+ m cos q-2m < -1 Þ cos
2q-m cos q + 2m-2 > 0 恒成立
Þ(cos
2q-m cos q + 2m-2)
min > 0
设t = cosq,h(t) = cos
2q-m cos q + 2m-2 = t
2-mt + 2m-2 = (t-
)
2-
+ 2m-2
∵ cosq∈[-1,1] Þt∈[-1,1],h(t) 的对称轴为 t =
,△= m
2-8m + 8 …4分
1°当 △< 0,即 4-2
< m < 4 + 2
时,h(t) > 0 恒成立.…………………6分
2°当 △≥0,即 m≤4-2
或 m≥4 + 2
时,………7分
由 h(t) > 0 在 [-1,1] 上恒成立
∴
Þ m≥2 Þ m≥4 + 2
………………11分
综上,m > 4-2
Þ M∩N =" {m" | m > 4-2
}