Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“出租车距离”，则圆x²+y²=1上一点与直线x+2y-4=0上一点的“出租车距离”的最小值为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：根据新定义，求出过圆上的点与直线x+2y-4=0上一点的“出租车距离”的表达式，然后求出最小值．

解答： 解：设直线x+2y-4=0上的任意一点坐标（x，y），
圆上任意一点的坐标为； （cosθ，sinθ）
由题意可知：d=|x-cosθ|+|2-

1

2

x-sinθ|
分类讨论：
①当2-

1

2

x-sinθ≤0，即x≥4-2sinθ时，
可知x＞1≥cosθ，即x-cosθ≥0
d=x-cosθ-（2-

1

2

x-sinθ）=

3

2

x-cosθ-2+sinθ
≥

3

2

（4-2sinθ）-cosθ-2+sinθ
=4-2sinθ-cosθ=4-

5

sin（θ+α）
≥4-

5

；
②当2-

1

2

x-sinθ＞0，x-cosθ≥0，即4-2sinθ＞x≥cosθ时，
d=x-cosθ+（2-

1

2

x-sinθ）=

1

2

x-cosθ+2-sinθ
≥

1

2

cosθ-cosθ+2-sinθ
=2-sinθ-

1

2

cosθ=2-

5

2

sin（θ+α）
≥2-

5

2

；
③当x-cosθ＜0，即x＜cosθ时，
d=-（x-cosθ）+（2-

1

2

x-sinθ）=-

3

2

x+cosθ+2-sinθ
＞-

3

2

cosθ+cosθ+2-sinθ
=2-sinθ-

1

2

cosθ=2-

5

2

sin（θ+α）
≥2-

5

2

．
则圆x²+y²=1上一点与直线x+2y-4=0上一点的“出租车距离”的最小值为2-

5

2

．
故答案为：2-

5

2

．

点评：本题是中档题，考查新定义，利用新定义求出函数的最小值问题，考查计算能力，对新定义的理解和灵活运应是解好本题的关键．