Question

9．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）设B_n为数列{b_n}的前n项的和，其中${b_n}={2^{a_n}}$，若不等式$\frac{{{B_n}-t{b_n}}}{{{B_{n+1}}+t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$对任意的n∈N^*恒成立，试求正实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$，能求出a_n=3n．
（Ⅱ）先求出${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$=$\frac{n+2}{2n}$，再求出{T_n}中的最大值为${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，由此能求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）由${b_n}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{B_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$，由此能求出正实数t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$，
∴当n≥2时，${S_{n-1}}=\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{2}（n-1）$，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n，…（2分）
又n=1时，a₁=S₁=3满足上式，
∴a_n=3n．…（3分）
（Ⅱ）${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}$$⇒\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{9n（n+1）}{2^n}}}=\frac{n+2}{2n}$，…（4分）
当n=1，2时，T_n+1≥T_n，
当n≥3时，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n，
∴n=1时，T₁=9，n=2，3时，${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，n≥4时，T_n＜T₃，
∴{T_n}中的最大值为${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$．…（6分）
要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$，
∴$m≥\frac{27}{2}$．…（7分）
（Ⅲ）${b_n}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{B_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$，…（8分）
将B_n代入$\frac{{{B_n}-t{b_n}}}{{{B_{n+1}}+t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，化简得，$\frac{{\frac{8}{7}×（{{8^n}-1}）-t×{8^n}}}{{（{\frac{8}{7}+t}）{8^{n+1}}-\frac{8}{7}}}＜\frac{1}{16}$（*）
∵t＞0，∴$（{\frac{8}{7}+t}）{8^{n+1}}＞\frac{8}{7}$，…9分
∴（*）化为$\frac{8}{7}[{16×（{{8^n}-1}）-{8^{n+1}}+1}]＜3t×{8^{n+1}}$，
整理得$t＞\frac{{8[{16×（{{8^n}-1}）-{8^{n+1}}+1}]}}{{21×{8^{n+1}}}}$，…（10分）
∴$t＞\frac{8}{21}（{1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}}）$对一切的正整数n恒成立，…（11分）
∵$1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}$随n的增大而增大，且$\frac{8}{21}（{1-\frac{15}{{{8^{n+1}}}}}）＜\frac{8}{21}$，
∴$t≥\frac{8}{21}$．．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用，是难题．