Question

14．若数列{a_n}满足${a_n}={x^n}-2n$，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}-n，x=0}\\{-{n}^{2}，x=1}\\{\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}-{n}^{2}-n，x≠0，1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 对x分类讨论，再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：当x=0时，a_n=-2n，∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（-2-2n）}{2}$=-n²-n；
当x=1时，a_n=1-2n，∴数列{a_n}的前n项和S_n=-$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=-n²；
当x≠0，1时，S_n=$\frac{x（{x}^{n}-1）}{x-1}$-n²-n．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}-n，x=0}\\{-{n}^{2}，x=1}\\{\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}-{n}^{2}-n，x≠0，1}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}-n，x=0}\\{-{n}^{2}，x=1}\\{\frac{{x}^{n+1}-x}{x-1}-{n}^{2}-n，x≠0，1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．