Question

3．已知点P（2，1）．
（1）求过P点与原点距离为2的直线l的方程；
（2）求过P点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

Answer 1

分析 （1）直线已过一点，考虑斜率不存在时是否满足条件，在利用待定系数法根据点到直线的距离公式建立等量关系，求出斜率；
（2）过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，求出斜率，利用点斜式可得直线方程，再利用点到直线的距离公式求出距离即可．

解答 解：（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），
故过P（2，1）垂直于x轴的直线满足条件．
此时l的斜率不存在，其方程为x=2．
若斜率存在，设l的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由已知，过P点与原点距离为2，得 $\frac{|-2k+1|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2，解之得k=$\frac{3}{4}$．
此时l的方程为3x-4y-2=0．综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-2=0．
（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得k_l•k_OP=-1，
所以k_l=-$\frac{1}{{K}_{OP}}$=2．由直线方程的点斜式得y-1=2（x-2），即2x-y-3=0，
即直线2x-y-3=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为 $\frac{|-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了直线的一般方程，以及两点之间的距离公式的应用，属于中档题．