Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以x轴非负半轴为始边，若终边经过点P（x₀，y₀）且|OP|=r（r＞0），定义sicosθ=$\frac{{{x_0}+{y_0}}}{r}$，称“sicosθ”为“正余弦函数”．对于正余弦函数y=sicosx，有同学得到如下结论：
①该函数的图象与直线y=$\frac{3}{2}$有公共点；
②该函数的一个对称中心是$（\frac{3π}{4}，0）$；
③该函数是偶函数；
④该函数的单调递增区间是$[2kπ-\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{π}{4}]，k∈Z$．
以上结论中，所有正确的序号是（　　）

• A． ①②③④
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②④

Answer 1

分析 根据题意，求出函数y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），再利用三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析判定即可．

解答 解：对于①，根据三角函数的定义可知x₀=rcosx，y₀=rsinx，
所以sicosθ=$\frac{{x}_{0}{+y}_{0}}{r}$=$\frac{rsinx+rcosx}{r}$=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
因为-1≤sin（x+$\frac{π}{4}$）≤1，
所以-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
即该函数的最大值为$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，其图象与直线y=$\frac{3}{2}$无公共点，①错误；
对于②，因为y=sicosθ=f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{3π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=0，
所以该函数的图象关于点（$\frac{3π}{4}$，0）对称，②正确；
对于③，函数y=sicosθ=f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）的图象不关于y轴对称，不是偶函数，③错误；
对于④，因为y=f（x）=sicosθ=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
所以由2kπ-$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
可得2kπ-$\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z
即该函数的单调递增区间为[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，④正确．
综上可得，正确的命题有2个，是②④．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，解题的关键是求出函数y=sicosθ的表达式，是综合性题目．