Question

5．已知数列{a_n}的前n（n∈N₊）项和${S_n}={n^2}+2n$．
（1）求a_n；
（2）设${b_n}=\frac{1}{S_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n．
（2）由${b_n}=\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n（n∈N₊）项和${S_n}={n^2}+2n$．
∴a₁=S₁=3…（1分）
n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{n^2}+2n）-[{（n-1）^2}+2（n-1）]=2n+1$…（5分）
a₁=3满足a_n=2n+1，
∴?n∈N₊，a_n=2n+1…（6分）
（2）∵${b_n}=\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$…（7分），
∴n≥3时，${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$…（9分）
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$…（10分）
=$\frac{{3{n^2}+5n}}{4（n+1）（n+2）}$…（11分），
检验知，n=1，n=2时，${T_n}=\frac{{3{n^2}+5n}}{4（n+1）（n+2）}$也成立，
所以，?n∈N₊，${T_n}=\frac{{3{n^2}+5n}}{4（n+1）（n+2）}$．…（12分）

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．