Question

14．已知$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{e}$，|$\overrightarrow{e}$|=1，若|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|对t∈R恒成立，则向量$\overrightarrow{e}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$的夹角为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 对|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|两边平方，得到关于t的二次不等式恒成立，令判别式△＜0得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$的值，计算$\overrightarrow{e}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}）$可得到结论．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{e}$|对t∈R恒成立，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+t²≥${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$+1恒成立，即t²-2（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）t+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1≥0恒成立．
∴4（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$）²-4（2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1）≤0，∴（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-1）²≤0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$=1．
∴$\overrightarrow{e}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}）$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}$-${\overrightarrow{e}}^{2}$=1-1=0．
∴$\overrightarrow{e}$⊥（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{e}$）．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次不等式，模长计算，属于中档题．