Question

2．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＞f′（x）tanx成立，则（　　）

• A． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$
• B． $f（1）＞2f（\frac{π}{6}）sin1$
• C． $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{4}}）$
• D． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$

Answer 1

分析 把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其导函数的符号得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数，即可判断．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＞f′（x）tanx，得f（x）cosx＞f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，
∴函数g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$），上单调递减，
∴$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}＞\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴$\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$，
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性和导数的关系，构造函数是解决问题的关键，属中档题．