Question

20．已知函数y=sin⁴x+cos⁴x，求此函数的值域和最小正周期．

Answer 1

分析 直接根据同角三角函数之间的关系对函数进行化简，再结合正弦函数单调性及周期的求法即可得到结论．

解答 解：因为：y=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²x•cos²x
=1-$\frac{1}{2}$sin²2x=1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos4x}{2}$
=1-$\frac{1-cos4x}{4}$
=$\frac{3}{4}$+$\frac{cos4x}{4}$．
所以：所求最小正周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
由cos4x∈[-1，1]，可得y=sin⁴x+cos⁴x=$\frac{3}{4}$+$\frac{cos4x}{4}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查三角函数中的恒等变换以及三角函数的周期的求法．函数y=Asin（ωx+φ）+b的周期公式为 T=2$\frac{2π}{|ω|}$，属于基础题．