Question

若直线l：y=（a+1）x-1与曲线C：y²=ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合，并指出a=0，a=-1时a的几何意义．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立方程组，消去y得到关于x的准一元二次方程，分二次项的系数等于零和不为零两种情况进行讨论．

解答： 解：联立方程组

y=(a+1)x-1 y2=ax

，得：（a+1）²x²-（3a+2）x+1=0．
当a=-1时，显然成立；
当a≠-1时，由△=（3a+2）²-4（a+1）²=0，解得a=0或-

4

5

．
综上，a=0、-1、-

4

5

．
则实数a的取值集合为{0，-1，-

4

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}．
当a=0时，曲线C为x轴，两直线有一个交点；
a=-1时直线l平行于抛物线的对称轴，与抛物线有一个交点．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了由一元二次方程的判别式判断根的个数问题，是基础题．