Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A垂直于底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4点D是AB的中点，
（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（ 2）求证：BC₁⊥平面AB₁C．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AC₁∥平面CDB₁；
（ 2）根据线面垂直的判定定理即可证明BC₁⊥平面AB₁C．

解答： （1）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，
∴DE∥AC₁，
∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁---------------------------（4分）
（2）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC²+BC²=AB²∴AC⊥BC，--------------①
又侧棱垂直于底面ABC，∴CC₁⊥AC---------------②
∴AC⊥面BCC₁∴AC⊥BC₁；-------------（8分）
又BC=CC₁，∴BC₁⊥CB₁
∴BC₁⊥平面AB₁C．-------------（8分）

点评：本题考查线面平行，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．