Question

16．在△ABC中，A=120°，AB=4，若点D在边BC上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，则AC的长．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，利用$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），再利用平面向量的数量积求出|$\overrightarrow{AC}$|即可．

解答 解：如图所示：

△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，点D在边BC上，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
∴3$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$，
两边平方得9${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4${\overrightarrow{AC}}^{2}$+4$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
又AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
∴9×${（\frac{2\sqrt{7}}{3}）}^{2}$=4${\overrightarrow{AC}}^{2}$+4×|$\overrightarrow{AC}$|×4×cos120°+4²，
化简得${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$-2|$\overrightarrow{AC}$|-3=0，
解得|$\overrightarrow{AC}$|=3或|$\overrightarrow{AC}$|=-1（不合题意舍去），
∴AC的长为3．

点评 本题考查了利用平面向量的线性运算与数量积运算求三角形边长的应用问题，是基础题目