Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（x•y）=f（x）+f（y），f（2）=1．则不等式f（x）-f（x-2）＞3的解集是（　　）

• A、(-∞，

  16

  7

  )
• B、(2，

  16

  7

  )
• C、（2，+∞）
• D、(2，

  12

  5

  )

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f（x）＞f（8x-16），再由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数得得到不等式组，即可解得答案．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，
∴f（2×2）=f（2）+f（2）=2，
f（2×4）=f（2）+f（4）=3，
∵f（x）-f（x-2）＞3，
∴f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数解得，

x＞0 x-2＞0 x＞8x-16

解得，2＜x＜

16

7

．
所以不等式f（x）-f（x-2）＜3的解集为（2，

16

7

）．
故选：B．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．