Question

已知椭圆的离心率为，其左右焦点分别为、，，设点，是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线的斜率之积．（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值，并求该定值．

Answer 1

（1）；（2）为一定值

【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体解法是先确定焦点的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．（2）圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，解题思维性较强．解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组（或不等式），消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证．

试题解析：（1）依题意，，而，∴，，

则椭圆的方程为：；（6分 ）

（2）由于，则，（8分 ）

而，，则，，

∴ ，则，（11分 ）

，展开得 为一定值（14分 ）

考点：椭圆及椭圆定点、定值问题