Question

14．（1）已知$α，β∈（\frac{3π}{4}，π），sin（α+β）=-\frac{3}{5}，sin（β-\frac{π}{4}）=\frac{12}{13}$，求$cos（α+\frac{π}{4}）$的值．
（2）求$sin{50}^{?}（1+\sqrt{3}tan{10}^{?}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）和cos（β-$\frac{π}{4}$）的值，再利用两角和差的三角公式求得$cos（α+\frac{π}{4}）$=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式求得所给式子的值．

解答 解：（1）∵已知$α，β∈（\frac{3π}{4}，π），sin（α+β）=-\frac{3}{5}，sin（β-\frac{π}{4}）=\frac{12}{13}$，∴α+β∈（$\frac{3π}{2}$，2π），β-$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$），
∴cos（α+β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，cos（β-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{5}{13}$．
$cos（α+\frac{π}{4}）$=cos[（α+β）-（β-$\frac{π}{4}$）]=cos（α+β）cos（β-$\frac{π}{4}$）+sin（α+β）sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）$+（-$\frac{3}{5}$）•$\frac{12}{13}$=-$\frac{56}{65}$．
（2）$sin{50}^{?}（1+\sqrt{3}tan{10}^{?}）$=sin50°•$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$=sin50°•$\frac{2sin（10°+30°）}{cos10°}$=cos40°•$\frac{2sin40°}{cos10°}$=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．