Question

（2012•江西）若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=

1

n

（n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n，且S_n=

n

i=1

xi，若对任意的n∈N₊，都有S_n＜

1

2

，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可通过对函数h（x）=(

1-xp

1+λxp

)

1

p

（λ＞-1，p＞0）进行研究，探究其是否满足补函数的三个条件来确定函数是否是补函数；
（2）由题意，先根据中介元的定义得出中介元x_n通式，代入S_n=

n

i=1

xi，计算出和，然后结合极限的思想，利用S_n＜

1

2

得到参数的不等式，解出它的取值范围；
（3）λ=0，x∈（0，1）时，对参数p分灰讨论由函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方这一位置关系进行转化，解出p的取值范围．

解答：解：（1）函数h（x）是补函数，证明如下：
①h（0）=(

1-0p

1+λ×0p

)

1

p

=1，h（1）=(

1-1

1+λ

)

1

p

=0；
②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（(

1-ap

1+λ×ap

)

1

p

）=(

1- 1-ap 1+λ×ap

1+λ× 1-ap 1+λ×ap

)

1

p

=(

(1+λ)ap

1+λ

)

1

p

=a
③令g（x）=（h（x））^p，有g′（x）=

-pxp-1(1+λ×xp)-(1-xp)λpxp-1

(1+λ×xp)2

=

-p(1+λ)xp-1

(1+λ×xp)2

，因为λ＞1，p＞0，
所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是减函数，故h（x）在（0，1）上是减函数
由上证，函数h（x）是补函数
（2）当p=

1

n

（n∈N^*），由h（x）=x得λx

2

n

+2x

1

n

-1=0(*)，
（i）当λ=0时，中介元x_n=(

1

2

)n，
（ii）当λ＞-1且λ≠0时，由（*）得x

1

n

=

1

1+λ +1

∈（0，1）或x

1

n

=

1

1- 1+λ

∉（0，1），得中介元x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
综合（i）（ii）：对任意的λ＞-1，中介元为x_n=(

1

1+λ? +1

)n，
于是当λ＞-1时，有S_n=

n

i=1

x1=

n

i=1

(

1

1+λ? +1

)i=

1

1+λ?

(1-(

1

1+λ? +1

)n)＜

1

1+λ?

，
当n无限增大时，(

1

1+λ? +1

)n无限接近于0，S_n无限接近于

1

1+λ?

，
故对任意的非零自然数n，S_n＜

1

2

等价于

1

1+λ?

≤

1

2

，即λ∈[3，+∞）
（3）当λ=0时，h（x）=(1-xp)

1

p

，中介元为xp=(

1

2

)

1

p

．
（i）0＜p≤1时，

1

p

≥1，中介元为xp=(

1

2

)

1

p

≤

1

2

，所以点（x_p，h（x_p））不在直线y=1-x的上方，不符合条件；
（ii）当p＞1时，依题意只需(1-xp)

1

p

＞1-x在x∈（0，1）时恒成立，也即x^p+（1-x）^p＜1在x∈（0，1）时恒成立
设φ（x）=x^p+（1-x）^p，x∈（0，1），则φ′（x）=p（x^p-1-（1-x）^p-1）
令φ′（x）=0，得x=

1

2

，且当x∈（0，

1

2

）时，φ′（x）＜0，当x∈（

1

2

，1）时，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜1恒成立．
综上，p的取值范围是（1，+∞）

点评：本题考查综合法与分析法，探究性强，难度较大，综合考查了转化的思想，导数在最值中的运用，极限的思想，综合性强，运算量大，对逻辑推理要求较高，极易出错或者找不到转化的方向，解题时要严谨认真，避免马虎出错