Question

12．已知单调递增的等差数列{a_n}满足：a₃a₅=45，a₂+a₆=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$为数列{b_n}的前n项和，若对任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+2恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-14x+45=0，得a₃=5，a₅=9，从而得a₁=1，d=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由${b}_{n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），利用裂项求和法求出T_n=$\frac{n}{2n+1}$，由对任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+2恒成立，得到λ＜$\frac{n+2}{{T}_{n}}$=2n+$\frac{2}{n}+5$，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）∵单调递增的等差数列{a_n}满足：a₃a₅=45，a₂+a₆=14，
∴a₃+a₅=14，a₃＜a₅，
∴a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两个根，
解方程x²-14x+45=0，得a₃=5，a₅=9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+4d=9}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}，{T_n}$为数列{b_n}的前n项和，
∴${b}_{n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+$…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$，
∵对任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+2恒成立，
∴λ＜$\frac{n+2}{{T}_{n}}$=（n+2）×$\frac{2n+1}{n}$=$\frac{2{n}^{2}+5n+2}{n}$=2n+$\frac{2}{n}+5$，
∵n∈N⁺，∴2n+$\frac{2}{n}$≥2$\sqrt{2n×\frac{2}{n}}$=4，当2n=$\frac{2}{n}$，即n=1时，取等号，
∴λ＜9．
∴实数λ的取值范围是（-∞，9）．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质和裂项求和法的合理运用．